AffinityではIllustratorファイルの書き出しはできません。
テキストを保持してIllustratorにデータを持って行きたい場合は、SVG形式またはPSD形式での書き出しをおすすめします。
実はアートボードが1枚だけの場合は「PDF形式」で書き出し、その拡張子を .ai に変更すれば、ダブルクリックしたときに警告ダイアログなしでIllustratorで開くことができます。
よほどIllustratorに詳しい方でなければ、Illustratorで制作したデータと区別するのは難しいでしょう。
.ai 形式で書き出せない理由
Adobeが .ai フォーマットを公開していないためです。
.ai 形式が読み込める理由
厳密には .ai データそのものを読み込んでいるのではなく、.ai ファイル内に含まれるPDFを読み込んでいます。
そのため、PDFを同梱していない .ai は開くことができません。